向量究竟是什么
在数学中向量以原点为起点，在空间中是一个有向的箭头，每一个位置上的数值代表在对应轴上的数值。为了与点区分，所以向量竖着写。
向量的加法
向量的乘法
线性代数围绕两种基本运算：向量加法与向量数乘。
线性组合、张成的空间与基
基向量。
当我们用数字描述向量时，都依赖于我们所选择的基。
在二维空间中，如果v,w不共线且不为零向量，那么理论上av+bw就可以表示二维空间中所有的向量。
为什么叫线性组合，如果固定其中一个向量那么只能表示部分向量，这些向量的末端构成一条直线。
两个向量张成的空间实际上是问仅通过向量加法与向量数乘这两种基础运算，你能获得的所有可能向量的集合是什么。
向量VS点：
可以用点来代替一个起点为原点，终点在该点上的一个向量。
三维向量：
三个向量的线性组合的张成空间同理。
线性相关：一个向量在其他向量线性组合的张成空间中，即这个向量没有提高所有向量组成的张成空间的维度。
线性无关：每一个向量都起到了提高张成空间维度的作用。
矩阵与线性变换
变换只不过是函数的一种花哨说法，它接收输入内容，并输出对应结果。在线性代数中考虑的是向量输入，输出一个向量。那为什么不用函数这个词呢？变换这个词在暗示用运动去思考。
如果一个变换有以下两条性质，我们就称它是线性的：一是直线在变换后仍然保持为直线，不能有所弯曲。二是原点保持固定。
如上不是线性变换。
如上为线性变换
变换后的坐标。
由于线性变换后对于基向量的线性组合的值不变，所以只需要知道基向量的变换就可以算出变换后的任意向量的坐标。
变换后的i,j。一个在标准网格的坐标系中的一个向量(x,y)
一个二维线性变换仅由四个数字完全确定。变换后i帽的两个坐标与变换后j帽的两个坐标（标准网格下的坐标）。
矩阵在这里只是一个记号，它含有描述一个线性变换的信息。
矩阵乘法与线性变换复合
两个独立变换可以进行复合变换
先旋转再剪切。
两个矩阵相乘有着几何意义，也就是两个线性变换相继作用
之所以能这么做是因为它们都在同一个坐标系下，即标准网格坐标系。
三维空间中的线性变换同理。
行列式
描述一个线性变换是让面积（对二维来说是面积，三维就是体积）拉伸还是挤压了。
也就是说如果一个行列式为0，那就是变换后成了一条线（对二维俩说）。推广就是计算一个矩阵的行列式，我们就能了解这个矩阵代表的变换是否将空间压缩到更小的维度上。
当空间定向改变的情况发生时，原本j在i的左侧，现在j在i的右侧了，行列式为负。
逆矩阵、列空间与零空间
逆矩阵就是逆变换。只要变换不讲空间压缩到更低维度，就有逆变换。
即使压缩到更低的维度，解依然有可能存在，当x恰好在直线上时，解就存在。
列空间就是矩阵的列所张成的空间。秩的更精确的定义是列空间的维数。满秩是指输入空间的维度等于矩阵的秩。对于一个满秩变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身。对于非满秩的变换，将维度压缩到更低的维度，也就是说会有一系列的向量会压缩到原点。在变换后落在原点的向量集合，被称为所选矩阵的零空间或核。
非方阵
几何意义是将二维空间映射到三维空间上。矩阵有两列表明输入空间有两个基向量，三维是表明变换到了三维空间坐标系中，张成空间为三维空间的一个过原点的二维平面，矩阵依然是满秩的，因为列空间的维数与输入空间的维数相等。
点积与对偶性
这里可以看做是二维空间压缩到一维的数轴上，由于变换是线性的，所以可以用一个1*2的矩阵来表示变换。
叉乘的标准介绍
顺序不同，正负不同。
这里才是真正的叉乘：
方向右手定则。
以线性变换的眼光看叉乘
为什么上述的式子中要用到ijk?下面就来解释。
真正的三维向量的叉乘接收两个向量并输出一个向量。
这个函数的几何意义在于，对于任一输入的向量（x,y,z),你都考虑它和v,w确定的平行六面体得到它的体积，然后根据取向确定符号。这个函数是线性的。
一旦知道它是线性的，就可以知道可以通过矩阵乘法来描述这个函数。具体地说，因为这个函数从三维空间到一维空间，就会存在一个1*3矩阵来代表这个变换。根据对偶性，从多维空间到一维空间的变换的特别之处在于可以将整个变换看做与这个特定向量的点积。
我们要找的就是P，使得p与其他任意向量（x,y,z）的点积等于一个3* 3矩阵的行列式。
从算数角度上来说p就是 （。。。。）i+（。。。。）j+（。。。。）k
从几何的角度：
左边式子，向量p与其他向量的点积的几何解释，是将其他向量投影到p上。
右面式子是(x,y,z)的垂直分量*底部面积。和垂直于v,w且长度等于平行四边形面积的向量与（x,y,z）点乘一样。所以p垂直v,w且长度为平行四边形的面积。
所以
基变换
线性变换中一个坐标系中的所有向量都跟着动，变换后的向量仍旧是相同的线性组合，不过使用的是新的基向量。基变换中，一个向量是不动的，动的是坐标系。
詹的坐标系：
一个我们坐标系中的向量：
詹系中对它的描述：
詹的基在我们系中的向量坐标：
詹的基自己的坐标：
不同的坐标系（基）对于空间内同一个向量的描述是不同的，也就是描述的语言不同。
不同的基的坐标原点是重合的。如何在不同的坐标系之间进行转化：
就是将（-1，2）进行线性变换后，可以变为黄色的向量。
可以把这个式子看作是我们把我们对詹的误解（詹的坐标系下的数值直接拿到标准网格坐标系里）转化为真实的詹的所指，都是在标准网格坐标系下。
同理，如果取逆。
这时可以求在标准网格坐标系中的某点，在詹坐标系下的值。可在式一两侧左边同时乘以逆来很好的推出。
如果想要旋转90度，詹的基该如何表示？
开始是一个詹下的向量：
我们转为我们的语言，在标准网格下的一个向量。
此时再进行旋转操作。
最后左乘一个逆矩阵，将其转换为詹的语言。
这就是詹的语言下旋转的操作。
特征向量与特征值
在线性变换中，有的向量并不改变方向，只是拉伸或者缩小。
这些向量就叫特征向量，每个特征向量都有一个所属的值，拉伸倍数叫做特征值。
如果在三维变化中找到这个特征向量，那它就是旋转轴
抽象空间本质
向量是什么？
从某种意义上来说函数也是向量。
x,y,z是三个点的纵坐标。
同时也存在另一个函数转换为另一个函数的操作（对应线性变化），例如求导。
可见函数是线性的。
抽象性带来的好处是我们能得到一般性的结论。
所以，什么是向量？数学中有许多类似向量的事物，只要你处理的对象集具有合理的数乘和相加概念，线性代数中所有关于向量、线性变换和其他等产生的概念都应该适用于它。
这些类似向量的事物，比如箭头、一组数、函数等，它们构成的集合被称为“向量空间”。
如果要让所有已经建立好的理论和概念适用于一个向量空间，那么它必须满足八条公理。这些公理是一个接口，一边连着应用线代的人，另一边是数学家。
只要满足八条公理，就可以将线代应用到你的研究对象上，而数学家则是根据这些公理证明了你的结论。
向量可以是任何东西，只要它满足公理。回答向量是什么，就像回答3是什么一样。
普适的代价是抽象。